考研數(shù)學證明題的解題技巧

NO.1 利用函數(shù)的單調(diào)性

利用單調(diào)性來證明不等式是高等數(shù)學中一種最常用的方法，其適應范圍很廣。它的解題思路是將所要證明的不等式作某些必要或適當?shù)淖冃沃?，選取適當?shù)暮瘮?shù)F(x)及區(qū)間[a，b]，再利用導數(shù)確定函數(shù)F(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)的單調(diào)性。如果當一階導數(shù)不能確定函數(shù)的單調(diào)性時，則利用高階導數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后取函數(shù)F(x)在區(qū)間[a，b]端點處的函數(shù)值，則可以得證不等式。

NO.2 利用中值定理

微分中值定理在高等數(shù)學不等式的證明中的作用也是非常大的。當不等式或其變形中有函數(shù)在兩點的函數(shù)值之差f(b)-f(a)時，一般可考慮用拉格朗日中值定理來證明?？挛鞫ɡ硎抢窭嗜斩ɡ淼囊粋€推廣，當不等式或其變形中有兩個函數(shù)在兩點的函數(shù)值之差的比值時，一般可考慮用柯西定理來證明。

NO.3 利用函數(shù)的最大最小值

通過函數(shù)的最大值!最小值來證明不等式是一種比較特殊的方法，它主要是利用連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的最大最小值定理。其思路是求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值M或者最小值m，則函數(shù)在區(qū)間中的任何值都滿足f(x)<=M 或者f(x)>=M

NO.4 利用函數(shù)的凹凸性

如果在所要證明的結論中包含形如的項，那么往往可以考慮尋找合適的函數(shù)，應用函數(shù)的凹凸性來證明不等式。

NO.5 利用泰勒級數(shù)展開式

如果已知函數(shù)的高階導數(shù)存在，則往往可以考慮通過泰勒公式將函數(shù)展開來進行證明。

NO.6 利用定積分中值定理

定積分中值定理是在處理含有定積分的不等式證明中經(jīng)常要用到的理論，一般只要求被積函數(shù)具有連續(xù)性即可。其思路是通過中值定理消去不等式中的積分號，從而與其他項作大小的比較，得出證明。

NO.7 利用定積分的性質(zhì)

NO.8 利用柯西&施瓦茨不等式

關于柯西—施瓦茨不等式: 設f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，則有

當不等式中含有帶平方項的積分時，往往可通過柯西—施瓦茨不等式來進行證明。

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